Enunciado

6.Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares

(i) f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x

Passo 1

Antes de começarmos a colocar qualquer grafite no papel, vamos dar uma pensada antes!

Qual seria a característica algébrica de uma função par?

f x = f - x

E qual seria uma característica de uma função ímpar?

f x = - f - x

Passo 2

Então antes de fazermos para valores genéricos, chutaremos sempre dois valores que são 1 2

e- 1 2 . Vamos lá:

f 1 2 = ln ⁡ 1 + 1 2 1 - 1 2 = ln ⁡ 1 + 1 2 1 - 1 2 = l n 3 2 1 2 = l n 3

Agora f - 1 2 :

f - 1 2 = ln ⁡ 1 + - 1 2 1 - - 1 2 = ln ⁡ 1 - 1 2 1 + 1 2 = l n 1 2 3 2 = l n 1 3

Você pode estar pensando, ihhhh não tem relação, mas calma, você precisa estar bem afiado com essas funções especiais para não termos problema na sua caminhada.

A verdade é que

l n 1 3 = - l n 3 ,

Então temos uma relação sim, E essa relação nos leva a crer que é uma função impar, mas precisamos confirmar e como faremos?

Faremos a mesma operação para valores genéricos! ( f ( x ) )

Passo 3

f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x

f - x = ln ⁡ 1 + - x 1 - - x = ln ⁡ 1 - x 1 + x = ln ⁡ 1 + x 1 - x - 1 = - ln ⁡ 1 + x 1 - x

A famosa regra do peteleco hein!

f - x = - ln ⁡ 1 + x 1 - x

Então,

f x = - f ( - x )

Chegamos na expressão que define uma função Impar, essa função é Impar!!

Resposta

A função é Impar

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