Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x - 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 2 ∞ 2 ∞ - 1

Logo,

L = ∞ ∞ - 1

Fazendo as contas:

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

O nosso limite é o seguinte:

L = lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x - 1

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → ∞ ⁡ 2 x ' 2 x - 1 '

Para o denominador vamos ter o seguinte:

D = 2 x - 1 '

Separando em dois termos:

D = 2 x ' - 1 '

Mas a derivada da uma constante é zero, logo:

D = 2 x '

Passo 3

Voltando para o nosso limite:

L = lim x → ∞ ⁡ 2 x ' 2 x '

Opa, mas como o denominador é igual ao numerador, então bora cortar!

L = lim x → ∞ ⁡ 1

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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