Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 6 x + 7 x 3 + 7 x - 1

Passo 1

O limite que ele nos pede para calcular é o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 6 x + 7 x 3 + 7 x - 1

Repare que quando x → ∞ a função x 2 cresce muito mais rápido que - 6 x + 7 . Assim, podemos desprezar o termo - 6 x + 7 . A mesmo coisa ocorre para o termo 7 x - 1 em relação ao x 3 . Logo,

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 3

Agora vamos fazer x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ∞ 2 ∞ 3

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 x 2

Se fizermos x = ∞   :

L = 2 × ∞ 3 × ∞ 2

Assim,

L = ∞ ∞

Eita, caímos numa indeterminação de novo, então vamos aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 3

Derivando em cima e embaixo novamente:

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 2 × 3 x

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 6 x

Fazendo x = ∞ :

L = 2 6 × ∞  

Portanto,

L = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 6 x + 7 x 3 + 7 x - 1 = 0

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