Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x 99 e x

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ∞ 99 e ∞

Fazendo as contas:

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x 99 e x

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → + ∞ ⁡ 99 × x 98 e x

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ 99 x 98 e x

Se fizermos x = ∞   :

L = 99 × ∞ e ∞

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, caímos numa indeterminação novamente. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital de novo!

Passo 3

Derivando, novamente:

L = lim x → + ∞ ⁡ 98 × 99 x 97 e x

Fazendo x = ∞ :

L = ∞ ∞

Indeterminação de novo!! Então vamos olhar com mais calma para nossa expressão:

Passo 4

L = lim x → + ∞ ⁡ 98 × 99 x 97 e x

Sempre que derivarmos embaixo vai dar e x e quando fizermos x → ∞ o denominador vai dar . Então o jeito vai ser olhar para o numerador. Repare que podemos derivar diversas vezes até aquele x . Incialmente, tínhamos o seguinte:

N = x 99

Derivando:

N ' = 99 × x 98

Novamente:

N ' ' = 98 × 99 × x 97

N 99 = 1 × 2 × … × 98 × 99 × x 0

Então depois de derivarmos 99 vezes:

L = lim x → + ∞ ⁡ 1 × 2 × … × 98 × 99 × 1 e x

Fazendo x = ∞ :

L = 1 × 2 × … × 98 × 99 e ∞

Portanto,

L = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 99 e x = 0

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