Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x x - π 2 2

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = π / 2 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = cos ⁡ π 2 π 2 - π 2 2

Como cos ⁡ π 2 = 0 :

L = 0 0 2

Logo,

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

O nosso limite é o seguinte:

L = lim x → π 2 ⁡   cos ⁡ x x - π 2 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → π 2 ⁡   - s e n x 2 × x - π 2 × x - π 2 '

Então nosso denominador fica o seguinte:

D = 2 × x - π 2 × x - π 2 '

Isto é,

D = 2 x - π 2

Passo 3

Então nosso limite vai ficar assim ó:

L = lim x → π 2 ⁡ - s e n x 2 x - π 2

Fazendo x = π 2 :

L = - s e n π 2 2 π 2 - π 2

Assim,

L = - 1 2 × 0 → L = - 1 0

Portanto,

L = - ∞

Resposta

L = - ∞

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