Enunciado

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.

y = x 2 3 e y = 4 ; ao redor dos eixos x = - 9 , y = 0 e x = 0

Passo 1

Inicialmente, é importante fazer um esboço das duas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa y = x 2 3 e a azul y = 4 :

A equação que define essa curva é a seguinte:

y = x 2 3

Para x > 0 :

f y = x 3 2

E para x < 0 :

f y = - x 3 2

Passo 2

Para acharmos o ponto de interseção da curva vermelha com a azul do lado direito, podemos fazer assim ó:

y = 4 y = x 2 3

Juntando a primeira com a segunda:

x 2 3 = 4

Elevando ao cubo dos dois lados:

x 2 = 64

Logo,

x = ± 8

Como estamos no lado positivo:

8,4

Se fizéssemos para o lado negativo, iriamos encontrar - 8 ,   4 .

Passo 3

Inicialmente, vamos fazer a rotação em torno do eixo x = - 9 . Assim, a expressão do volume vai ficar o seguinte:

V = π ∫ a b f y + 9 2 d y

Repara que temos que separar em dois casos, um para a curva do lado negativo de x e um para o lado positivo de x . Logo,

V = π ∫ 0 4 y 3 2 + 9 2 d y - π ∫ 0 4 - y 3 2 + 9 2 d y

Elevando os termos ao quadrado:

V = π ∫ 0 4 y 3 + 18 y 3 2 + 81 d y - π ∫ 0 4 y 3 - 18 y 3 2 + 81 d y

Juntando as integrais:

V = π ∫ 0 4 36 y 3 2 d y

Integrando:

V = π 36 × y 5 2 5 2 0 4 →   V = π 72 5 y 5 2 0 4

Pra finalizar, basta aplicarmos entre os pontos 0 e 4 . Logo,

V = π 72 5 × 4 5 2 - 72 5 × 0 5 2

Portanto,

V = 2304 π 5

Passo 4

Agora vamos ver como fica em torno do eixo x = 0 , vamos ter o seguinte:

V = π ∫ 0 4 y 3 2 2 d y

Logo,

V = π ∫ 0 4 y 3 d y

Integrando:

V = π y 4 4 0 4

Aplicando entre esses pontos:

V = π 4 4 4 - 0 4 4

Portanto,

V = 64 π

Passo 5

Pra finalizar, ele nos pede para calcular o volume se rotacionarmos em torno de y = 0 . Repare que nossa figura é simétrica em relação ao eixo y . Assim, podemos calcular apenas para x > 0 e multiplicar por dois. Além disso, como podemos ver na figura do Passo 1, vamos integrar entre os pontos 0 e 8 .

V = 2 × π ∫ 0 8 4 2 d x - π ∫ 0 8 x 2 3 2 d x

Isto é,

V = 2 × π ∫ 0 8 16 d x - π ∫ 0 8 x 4 3 d x

Integrando:

V = 2 × 16 π x 0 8 - π x 7 3 7 3 0 8

Aplicando entre esses pontos:

V = 2 × 16 π 8 - 0 - π 8 7 3 7 3 - 0 4 3 4 3

Fazendo as contas:

V = 256 π - 768 π 7

Portanto,

V = 1024 π 7

Resposta

Em torno de x = - 9 :

V = 2304 π 5

Em torno de y = 0 :

V = 64 π

Em torno de x = 0 :

V = 1024 π 7

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