Determinar (∂^3 f→)/(∂x ∂y ∂z) e (∂^4 f) / (∂x ∂z^2 ∂y) sendo f(x, y, z) = (x \* y^4, x \* z^3 + 1, x \* e^(yz)) .

Passo 1

Então galera, aqui teremos que colocar nossos conhecimentos sobre derivadas à prova mesmo! Caso você ainda esteja com alguma dificuldade em derivação, sugiro dar uma relembrada rápida aqui mesmo nas playlists do RespondeAí para resolvermos o problema tranquilão, beleza? Então vamos lá!

Inicialmente precisamos determinar a seguinte derivada:

∂ 3 f → ∂ x ∂ y ∂ z

Em outras palavras, temos que derivar a função que nos foi dada na seguinte ordem: primeiro em relação a z , depois em relação a y e, por fim, em relação a x .

Passo 2

Derivando a nossa função em relação a z , teremos:

∂ f → ∂ z = 0 ,   3 x z 2 ,   x . e y z . y

Agora derivando em relação a y , teremos:

∂ 2 f → ∂ y ∂ z = 0 ,   0 ,   x . e y z + x y z . e y z

Por fim, derivando em relação a x , teremos:

∂ 3 f → ∂ x ∂ y ∂ z = 0 ,   0 ,   e y z + y z . e y z

E essa é a primeira derivada que nos foi solicitada!

Passo 3

Para a segunda derivada que nos foi pedida, vamos seguir a mesma linha de raciocínio da primeira, tudo bem? Temos que derivar a função que nos foi dada na seguinte ordem: primeiro em relação a y , depois duas vezes em relação a z e, por fim, em relação a x .

Derivando em relação a y :

∂ f → ∂ y = 4 x y 3 ,   0 ,   x z . e y z

Derivando duas vezes em relação a z :

∂ 2 f → ∂ z ∂ y = 0 ,   0 ,   x . e y z + x y z . e y z

∂ 3 f → ∂ z 2 ∂ y = 0 ,   0 ,   x y . e y z + x y e y z + z y . e y z

Por fim, derivando em relação a x :

∂ 4 f → ∂ x ∂ z 2 ∂ y = 0 ,   0 ,   y . e y z + y . e y z + z y 2 . e y z

∴ ∂ 4 f → ∂ x ∂ z 2 ∂ y = 0 ,   0 ,   2 y . e y z + z y 2 . e y z

E essa é a outra derivada que queríamos!

Resposta

∂ 3 f → ∂ x ∂ y ∂ z = 0 ,   0 ,   e y z + y z . e y z

∂ 4 f → ∂ x ∂ z 2 ∂ y = 0 ,   0 ,   2 y . e y z + z y 2 . e y z

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