Enunciado

Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:

h) z = x 2 + y 2   s e n   ( x 2 + y 2 ) ; P 0,0

Passo 1

O vetor gradiente é dado por:

∇ z = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

Então, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :

∂ z ∂ x = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 x + s e n   x 2 + y 2 ⋅ 2 x

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :

∂ z ∂ y = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 y + s e n   x 2 + y 2 ⋅ 2 y

Desse modo, temos o seguinte vetor gradiente:

∇ z = 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 + s e n   x 2 + y 2 ,   2 y [ x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 + s e n   x 2 + y 2 ]

Passo 2

Devemos agora, aplicar o ponto dado no vetor gradiente obtido.

Então, no ponto P 0 ,   0 , temos:

∇ z 0,0 = ( 0 ,   0 )

Resposta

∇ z 0 ,   0 = ( 0 ,   0 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )
Seja U x , y = x 2 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Determine F →
Determine todas as funções z = φ x , y , x0 tal que φ - 1,1 = π 4 e para y0 ∇ φ x , y ,= - y x 2 + y 2,x x 2 + y 2
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y