Enunciado

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.

y = x 2 + 1 ,   x = 0 ,   x = 2   e   y = 0

Passo 1

O gráfico que mostra a região R delimitada é dado por:

Passo 2

A equação do volume do sólido de revolução é:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Substituindo pelos dados obtidos:

V = π ∫ 0 2 ( x 2 + 1 ) 2 d x = π ∫ 0 2 ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) d x

Passo 3

Integrando:

V = π ⋅ x 5 5 + 2 x 3 3 + x

Aplicando os limites, temos:

V = π ⋅ 2 5 5 + 2 ⋅ 2 3 3 + 2 = π ⋅ 32 5 + 16 3 + 2 = π ⋅ 96 + 80 + 30 15 = 206 π 15

Resposta

206 π 15   u . v .

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