Enunciado

Determine d y // d x :

y = int_(- 1)^(x^((1)/(pi))) s e n^(- 1) (t) d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F (x) = int_a^x f (t) d t é contínua em [ a , b ] e derivável em (a , b) e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas x^((1)/(pi)) . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = int_(- 1)^u s e n^(- 1) ( t ) d t e u = x^((1)/(pi))

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y // d x .

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d x)

Assim, temos:

F^' (x) = (d y)/(d x) = (d)/(d x) int_(- 1)^u s e n^(- 1) (t) d t xx (d u)/(d x) = s e n^(- 1) (u) xx (x)/(pi)^((1 - pi)/(pi)) = (s e n^(- 1) (x^((1)/(pi))) x^((1 - pi)/(pi)))/(pi)

Resposta

(s e n^(- 1) (x^((1)/(pi))) x^((1 - pi)/(pi)))/(pi)

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