Enunciado

Determine d y / d x :

y = ∫ - 1 x 1 π s e n - 1 t   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas x 1 π . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = ∫ - 1 u s e n - 1 ( t ) d t                                     e                                               u = x 1 π

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = d d x ∫ - 1 u s e n - 1 t d t × d u d x = s e n - 1 u × x π 1 - π π = s e n - 1 x 1 π x 1 - π π π

Resposta

s e n - 1 x 1 π x 1 - π π π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

71-72. Calcule cada limite interpretando-o como uma soma de Riemann em que os intervalos são divididos em n subintervalos de igual comprimento.71. lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ π 4 n sec 2 ⁡ ( π x 4 n ) no in
67-a) Em qual intervalo aberto a fórmula F x = ∫ 1 x d t t representa uma antiderivada de f x = 1 x? b)Encontre um ponto em que o gráfico de F cruza o eixo x .
68-a) Em qual intervalo aberto a fórmula F x = ∫ 1 x 1 t 2 - 9 d t representa uma antiderivada de f x = 1 x 2 - 9? b)Encontre um ponto em que o gráfico de F cruza o eixo x .
54. Explique por que o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado sem modificações a integrais definidas em que o limite de integração inferior é maior do que ou igual ao limite de integração su
Use a geração de gráficos e a integração numérica de um CAS para gerar o gráfico da função F do Exercício 65 no intervalo - 20≤x≤20 e confirme que o gráfico está de acordo com os resultados obtidos na