Enunciado

Determine d y / d x se y = ∫ x 1 1 + t 2   d t . Explique as principais etapas de seu cálculo.

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é x . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

∫ b a f x d x =   - ∫ a b f x d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = d d x ∫ x 1 1 + t 2   d t = - d d x ∫ 1 x 1 + t 2   d t

Passo 2

Agora podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, temos:

F ' x = d y d x = - d d x ∫ 1 x 1 + t 2   d t =   - 1 + x 2  

Resposta

- 1 + x 2

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