Enunciado

Determine o ponto sobre a reta

x a + y b = 1

Que está mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos procurar o menor valor do quadrado da distância, isso porque ela tem a seguinte relação com as coordenadas:

d 2 = x 2 + y 2

Fica mais fácil trabalhar com isso, afinal, menor valor de d 2 vai dar menor valor de d

Isolando o y na equação da reta:

x a + y b = 1

Multiplicando por b

b a x + y = b

y = b - b a x

Assim, d 2 fica:

d 2 = x 2 + b - b a x 2

d 2 = x 2 + b 2 - 2 b 2 a x + b 2 a 2 x 2

Aqui, o valor de x pode variar quanto ele quiser.

Passo 2

Acabamos achando uma equação de 2 º grau. Ela tem apenas um mínimo mesmo, que vai ser quando a derivada é 0 .

Vamos só derivar e igualar a 0 e essa será nossa resposta para x

d 2 ' = 2 x - 2 b 2 a + 2 b 2 a 2 x

Fazendo essa expressão igual a 0

2 x - 2 b 2 a + 2 b 2 a 2 x = 0

2 x + 2 b 2 a 2 x = 2 b 2 a

Colocando o x em evidência:

x 2 + 2 b 2 a 2 = 2 b 2 a

x 2 a 2 + 2 b 2 a 2 = 2 b 2 a

x = 2 b 2 a 2 2 a a 2 + b 2

x = a b 2 a 2 + b 2

Assim, vamos ter também:

y = b - b a a b 2 a 2 + b 2

y = a 2 b a 2 + b 2

Resposta

x = a b 2 a 2 + b 2

y = a 2 b a 2 + b 2

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