Enunciado

Determine underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 25 ) - sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)) = underset(x -> oo)(l i m) [sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)] . [(sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1))/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1))] = underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)] . [sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)])/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1))

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)] . [sqrt(x^2 + 25) - sqrt(x^2 - 1)])/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1))

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 25))^2 - (sqrt(x^2 + 25) . sqrt(x^2 - 1)) + (sqrt(x^2 - 1 .) sqrt(x^2 + 25)) - (sqrt(x^2 - 1 ))^2)/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1)) = underset(x -> oo)(l i m) ((x^2 + 25) - (x^2 - 1))/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1)) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2 + 25 - x^2 + 1)/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1)) = underset(x -> oo)(l i m) (26)/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1))

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

underset(x -> oo)(l i m) (26)/(sqrt(x^2 + 25) + sqrt(x^2 - 1)) = underset(x -> oo)(l i m) ((26)/(x))/((sqrt(x^2 + 25))/(x) + (sqrt(x^2 - 1))/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) ((26)/(x))/((sqrt(x^2 + 25))/(sqrt(x^2)) + (sqrt(x^2 - 1))/(sqrt(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) ((26)/(x))/(sqrt((x^2 + 25)/(x^2)) + sqrt((x^2 - 1)/(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) ((26)/(x))/(sqrt((x^2)/(x^2) + (25)/(x^2)) + sqrt((x^2)/(x^2) - (1)/(x^2))) = underset(x -> oo)(l i m) ((26)/(x))/(sqrt(1 + (25)/(x^2)) + sqrt(1 - (1)/(x^2))) = (underset(x -> oo)(l i m) (26)/(x))/(underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(1 + (25)/(x^2)) + sqrt(1 - (1)/(x^2)))) = (underset(x -> oo)(l i m) (26)/(x))/(underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (25)/(x^2)) + underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 - (1)/(x^2)))

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(underset(x -> oo)(l i m) (26)/(x))/(underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 + (25)/(x^2)) + underset(x -> oo)(l i m) sqrt(1 - (1)/(x^2))) = (underset(x -> oo)(l i m) (26)/(x))/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 + (25)/(x^2))) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (1 - (1)/(x^2)))) = (underset(x -> oo)(l i m) (26)/(x))/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (25)/(x^2)) + sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 1 - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^2)))

= (0)/(sqrt(1 + 0) + sqrt(1 + 0)) = (0)/(sqrt(1) + sqrt(1)) = (0)/(1 + 1) = (0)/(2) = 0

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 25 ) - sqrt(x^2 - 1)) = 0 .

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