Enunciado

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Se f for contínua num intervalo fechado em [ a , b ] e e derivável em ( a , b ) , então existirá um ponto entre a e b no qual a taxa de variação instantânea de f é igual à taxa de variação média de f em [ a , b ] .

Passo 1

Essa afirmação é verdadeira! É justamente uma interpretação do Teorema do Valor Médio, que diz que se uma função for contínua num intervalo fechado em [ a , b ] e e derivável em ( a , b ) , então existirá um ponto entre a e b no qual:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Resposta

Verdadeira! É uma interpretação do TVM.

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Prove a parte (b) do Teorema 4.1.2.Prove a parte (c) do Teorema 4.1.2.
Prove: Se f ' ' x0 em cada x de (a, b), então f ' x = 0 no máximo uma vez em (a, b).Dê uma interpretação geométrica do resultado em (a).
Use a desigualdade 31,8 para provar que: 1,731,75 [Sugestão: Tome f x = x,a = 3eb = 4 no Teorema do Valor Médio]
Mostre que, se f e g forem função para as quais f ' x = g xeg ' x = - f x Em cada x , então f 2 x + g 2 ( x ) é uma constante.De exemplo de funções f e g com essa propriedade.
Seja f x = 3 x 2 , x ≤ 1 a x + b , x1 Encontre os valores de a e b tais que f seja diferenciável em x = 1 .