Enunciado

Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f x = c o s ⁡ ( x ) ; π 2 , 3 π 2

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto π 2 , 3 π 2 não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = - s e n ⁡ ( x ) , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro dos números reais.

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema de Rolle, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = 0 .

Pelo gráfico, vemos que só há um ponto em que isso acontece, vamos descobrí-lo:

f ' x = - s e n ⁡ ( x ) = 0

s e n ⁡ ( x ) = 0

Para que o seno seja zero no intervalo π 2 , 3 π 2 , nossa única opção para que isso seja verdade é se:

x = π

Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é 0 , então esse é o nosso cara!

c = π

Resposta

c = π

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