Enunciado

Seja

f x = 3 x 2 ,                             x ≤ 1 a x + b ,     x > 1

Encontre os valores de a e b tais que f seja diferenciável em x = 1 .

Passo 1

Vamos considerar f sendo contínuo. Nós precisamos lim x → 1 + ⁡ f x = f 1 .

Assim:

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + a x + b = a + b

Aplicando na primeira função :

f x = 3 x 2

⁡   f 1 = 3

Então, para que os limites sejam iguais, nossa primeira restrição é:

a + b = 3

A próxima consideração que faremos é que nossa função deve ser diferenciável, e portanto, l i m x → 1 f ' ( x ) tem que existir.

Como consideramos:

f x = 3 x 2

Sua derivada será (quando aproximarmos pela esquerda em x ≤ 1 ) :

f ' x = 6 x

f ' = 6

A função f também pode ser vista como (quando aproximamos pela direita com x > 1 ) :

f x = a x + b

f ' = a

Então, podemos dizer que :

l i m x → 1 - f ' x =   l i m x → 1 - 6 x = 6

l i m x → 1 + f ' x =   l i m x → 1 + a = a

Então, nós precisamos de a = 6 para o limite existir:

6 + b = 3

b = - 3

Resposta

a = 6

b = - 3

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