Enunciado

  1. Prove a parte (b) do Teorema 4.1.2.
  2. Prove a parte (c) do Teorema 4.1.2.

Passo 1

(a)

Suponha que f ’ ( x ) < 0 para cada valor de x em ( a ,   b ) . Como sabemos que f é diferenciável em ( a ,   b ) , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio, e obter um ponto c em que ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Como f ' x < 0   para cada valor de x em ( a ,   b ) .

f b - f ( a ) b - a < 0

Como a < b , e portanto, b - a > 0

f b - f a < 0

Reescrevendo isso, obtemos f b < f a e portanto, a função está diminuindo em a ,   b .

Passo 2

(b)

Suponha que f ’ x = 0 para cada valor de x em ( a ,   b ) . Como sabemos que f é diferenciável em ( a ,   b ) , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio, e obter um ponto c em que ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Como f ' x = 0   para cada valor de x em ( a ,   b ) .

f b - f ( a ) b - a = 0

Como a fração zera no numerador:

f b - f a = 0

Reescrevendo isso, obtemos f b = f a e portanto, a função é constante em a ,   b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = x x + 2 ,[ 1,4 ]
Mostre que um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais.
Seja f x = 2 - 2 x - 1 . Mostre que não existe um valor c tal que f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Mostre que a equação 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0 tem exatamente uma raiz real.