Enunciado

  1. Prove: Se f ' ' x > 0 em cada x de (a, b), então f ' x = 0 no máximo uma vez em (a, b).
  2. Dê uma interpretação geométrica do resultado em (a).

Passo 1

  1. Suponha que f ’ ’ ( x ) > 0 para todo valor de   x em ( a ,   b ) e f ’ ( x ) = 0 tenha duas soluções c e d em ( a ,   b ) .
  2. Portanto, f ’ d = 0 = f ' ( d ) .

    Quando aplicamos o teorema de Rolle, já que sabemos que f ' é diferenciável ( f ' ' existe) e sabemos que existe um ponto g em ( c ,   d ) tal que f ' ' g = 0 .

    Passo 2

  3. Como esse intervalo ( c ,   d ) faz parte do intervalo ( a ,   b ) , encontramos um valor para o qual f ' ' x = 0 . Em seguida, obtemos uma contradição (assumimos que f ' ' x > 0 ) e, portanto, f ' x não pode ter mais de uma raiz em ( a ,   b ) ou em outra palavra f ' x = 0 no máximo uma vez em ( a ,   b ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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