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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 89

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desse livro

Determine a altura e o raio do maior cilindro circular reto que pode ser colocado dentro de uma esfera de raio 3 .

Passo 1

Temos a representação gráfica de um cilindro inscrito em uma esfera:

Portanto, por Pitágoras, temos a relação entre r e h:

2 r 2 + h 2 = 2 R 2

4 r 2 + h 2 = ( 2 3 ) 2

4 r 2 + h 2 = 12

Passo 2

Para encontrar o maior cilindro possível, devemos maximizar a expressão do volume V do cilindro.

V = A b . h

V = π r 2 . h

V = π 12 - h 2 4 . h

V = π 4 . 12 h - h 3

Passo 3

A fim de maximizar a expressão do volume, vamos derivar e igualar a zero:

V ' = π 4 . 12 - 3 h 2 = 0

3 h 2 = 12

h = 2

A partir da relação entre h e r (Passo 1), podemos encontrar o valor de r:

4 r 2 + h 2 = 12

4 r 2 + 4 = 12

4 r 2 = 8

r = 2

Resposta

h = 2

r = 2

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