Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 14
Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
Nesse problema temos uma questão de otimização em que temos uma caixa com uma base quadrada e sem tampa com um volume de . A partir daí queremos encontrar as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Pra isso, antes de tudo, precisamos encontrar uma expressão que relacione as dimensões da caixa, que queremos minimizar. Então, vamos considerar que seja a dimensão do lado da base do quadrado e seja a altura da caixa. Daí, temos que:
Depois, vamos escrever uma fórmula para a área da caixa toda. Para isso, calcularemos a área da base e a área lateral da caixa:
Com isso, teremos uma área total , que pode ser relacionada com a equação do volume . Então, vamos isolar a altura e coloca-la em função do lado .
A partir disso, vamos encontrar os valores mínimos dessas dimensões, encontrando os pontos críticos da expressão encontrada, ou seja, derivando, igualando o resultado a zero e depois substituindo na expressão.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar partindo da equação do volume para escrever:
Então, substituindo na equação área, temos:
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo da área, basta derivarmos e igualarmos a zero. Então, derivando, temos:
Igualando a zero:
E isolando :
Passo 4
Com isso, podemos encontrar a partir da equação do volume. Então, substituindo em , temos:
Logo, a caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a e uma altura , para uma quantidade mínima de material.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁
Resposta
A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a e uma altura .
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