Enunciado

Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32   000   c m 3 . Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Nesse problema temos uma questão de otimização em que temos uma caixa com uma base quadrada e sem tampa com um volume de 32   000   c m 3 . A partir daí queremos encontrar as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Pra isso, antes de tudo, precisamos encontrar uma expressão que relacione as dimensões da caixa, que queremos minimizar. Então, vamos considerar que b seja a dimensão do lado da base do quadrado e h seja a altura da caixa. Daí, temos que:

V = b 2 ⋅ h = 32000

Depois, vamos escrever uma fórmula para a área da caixa toda. Para isso, calcularemos a área da base A b e a área lateral A L da caixa:

A b = b 2

A L = 4 ⋅ b �� h

Com isso, teremos uma área total A = b 2 + 4 b h , que pode ser relacionada com a equação do volume V . Então, vamos isolar a altura h e coloca-la em função do lado b .

A partir disso, vamos encontrar os valores mínimos dessas dimensões, encontrando os pontos críticos da expressão encontrada, ou seja, derivando, igualando o resultado a zero e depois substituindo na expressão.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar partindo da equação do volume V = b 2 h = 32000 para escrever:

h = 32000 b 2

Então, substituindo na equação área, temos:

A = b 2 + 4 b 32000 b 2

A = b 2 + 128000 b

A = b 3 + 128000 b

Passo 3

Para encontrar o valor mínimo da área, basta derivarmos e igualarmos a zero. Então, derivando, temos:

A ' = 3 b 3 - b 3 - 128000 b 2

A ' = 2 b 3 - 128000 b 2

Igualando a zero:

2 b 3 - 128000 b 2 = 0

2 b 3 - 128000 = 0

E isolando b :

b 3 = 64000

b = 40   c m

Passo 4

Com isso, podemos encontrar h a partir da equação do volume. Então, substituindo b = 40 em h = 32000 b 2 , temos:

h = 32000 40 2

h = 32000 1600

h = 20   c m

Logo, a caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a b = 40   c m e uma altura h = 20   c m , para uma quantidade mínima de material.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a b = 40   c m e uma altura h = 20   c m .

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