Enunciado

Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y^2 , 1 <= x <= 4 , 0 <= y <= 1 .

Passo 1

Vamos lembrar que, por definição a área de uma superfície pode ser dada por

A (D) = ∬_D sqrt(((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2 + 1) d A

Passo 2

Queremos calcular a área de nossa superfície. Para isso temos que

A (D) = int_1^4 int_0^1 sqrt(1 + 4 + (3 + 8 y)^2) d y d x

Usando um sistema de computação algébrica, temos que

A (D) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln (11 sqrt(5) + 3 sqrt(14) sqrt(5)) - (15)/(16) ln (3 sqrt(5) + sqrt(14) sqrt(5))

= (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

Resposta

A (D) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

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