Enunciado

Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.)

a = 3 , 4 ,     b = 5 , 12

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição de um produto interno. Relembrando, temos:

a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = a ⋅ b a ⋅ b

θ = arccos ⁡ a ⋅ b a ⋅ b

Logo, precisamos calcular a norma de cada um dos vetores e o produto interno entre eles. Somente após isto, poderemos calcular o valor do ângulo!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo de cada um dos vetores. Desta forma,

a = 3 2 + 4 2

a = 25 = 5

Já para o vetor b , temos:

b = 5 2 + 12 2

b = 169 = 13

Passo 3

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 3 , 4 ⋅ 5 , 12

a ⋅ b = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 12

a ⋅ b = 15 + 48 = 63

Passo 4

Pronto, chegamos ao final da questão! Só nos basta agora substituirmos os valores encontrados ao longo dos Passos para obtermos o valor do ângulo θ . Sendo assim, temos:

θ = arccos ⁡ 63 5 ⋅ 13 = arccos ⁡ 63 65

θ ≈ 14,3 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 63 65 ≈ 14,3 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Explique por que a distância entre as retas que contêm as arestas opostos A B e C D de um tetraedro é igual a A C → . ( A B → ∧ C D ) → A B → ∧ C D → .
(a) Conclua que S Ω = S Ω i j 2 +S Ω i k 2 +S Ω j k 2 .
(c) Aplique (b) ao caso em que u → = 1 , - 3 ,1 B e v → - 3, 3, 3 B .
(d) Seja E = ( a → , b → , c → ) a base obtida da base ( u → , v → , w → ) pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt ( u → , v → e w → são os do item (c)). Dados x → = 1 ,1 ,2 E e y → = 0 ,2 ,
(a) Dados os vetores linearmente independentes u → e v → , descreva, em termos do produto vetorial u → ∧ v → , o conjunto A dos vetores ortogonais a u → e a v → .