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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart - 14.4 - 17

Determine a aproximação linear da função f x , y = 20 - x 2 - 7 y 2 em ( 2,1 ) e use-a para aproximar f ( 1,95 ,   1,08 ) .

Passo 1

Show de bola, galera. Basicamente precisamos avaliar primeiro as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto ( 2,1 ) .

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 20 - x 2 - 7 y 2 = - x 20 - x 2 - 7 y 2 →       N o   p o n t o   2,1     ∂ f ∂ x 2,1 = - 2 3

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 20 - x 2 - 7 y 2 = - 7 y 20 - x 2 - 7 y 2 →       N o   p o n t o   2,1     ∂ f ∂ y 2,1 = - 7 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 2,1 , basta fazer:

L x , y = f 2,1 ⏟ 3 + ∂ f ∂ x 2,1 ⏟ - 2 / 3 ∙ x - 2 + ∂ f ∂ y 2,1 ⏟ - 7 / 3 ∙ y - 1

L x , y = 3 - 2 x - 2 3 - 7 y - 1 3 ∴ L x , y = - 2 x - 7 y + 20 3

Para o nosso caso, queremos calcular L ( 1,95 ,   1,08 ) ≈ f ( 1,95 ,   1,08 ) :

L ( 1,95 ,   1,08 ) = 2,84 6 ¯

Resposta

L ( 1,95 ,   1,08 ) = 2,84 6 ¯

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