Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^3 + n)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/(n^3 + n) harr f (x) = (1)/(x^3 + x)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (d x)/(x^3 + x) = int_1^(oo) (d x)/(x (x^2 + 1)) = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (d x)/(x (x^2 + 1))

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar primeiro a substituição trigonométrica com x = tg theta e d x = sec^2 theta d theta :

int (d x)/(x (x^2 + 1)) = int (sec^2 theta d theta)/(tg theta ( tg^2 theta + 1 )) = int (((1)/(cos^2 theta)) d theta)/((sen theta)/(cos theta) ((sen^2 theta)/(cos^2 theta) + 1)) = int (((1)/(cos^2 theta)) d theta)/((sen theta)/(cos theta) ((1)/(cos^2 theta))) = int (cos theta d theta)/(sen theta)

int (d x)/(x (x^2 + 1)) = int (cos theta d theta)/(sen theta) = ln (sen theta) = ln (sen theta) underset([[x,=,tg theta],[:.],[sen theta=(x)/(sqrt(x^2 + 1))]])(->) int (d x)/(x (x^2 + 1)) = ln ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (d x)/(x (x^2 + 1)) = underset(t -> oo)(lim) [ln ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))]_1^t = underset(t -> oo)(lim) [ln ((t)/(sqrt(t^2 + 1))) - ln ((1)/(sqrt(2)))] = - ln ((1)/(sqrt(2)))

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^3 + n) é convergente

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