Enunciado

Verifique a aproximação linear em (0,0) .

sqrt(y + cos^2 x) tildetilde 1 + (1)/(2) y

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão também não tem mistério.

Vamos chamar o lado esquerdo da nossa expressão de f (x , y) , ou seja,

f (x , y) = sqrt(y + cos^2 x)

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais (del f)/(del x) e (del f)/(del y) existem e são contínuas em (0,0) , pois aí já saberemos se a função é diferenciável e se existe a possibilidade de uma aproximação linear.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

(del f)/(del x) = (del)/(del x) (sqrt(y + cos^2 x)) = (- sen 2 x)/(2 sqrt(y + cos^2 x)) underset(N o p o n t o (0,0))(->) (del f)/(del x) (0,0) = 0

(del f)/(del y) = (del)/(del y) (sqrt(y + cos^2 x)) = (1)/(2 sqrt(y + cos^2 x)) underset(N o p o n t o (0,0))(->) (del f)/(del y) (0,0) = (1)/(2)

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse (0,0) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para y > - cos^2 x . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto (0,0) .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto (0,0) , basta fazer:

L (x , y) = underset(1)(ubrace f (0,0)) + underset(0)(ubrace (del f)/(del x) (0,0)) * (x - 0) + underset(1 // 2)(ubrace (del f)/(del y) (0,0)) * (y - 0)

L(x , y)=1+(1)/(2)y

Resposta

A linearização L (x , y) = 1 + (1)/(2) y está correta

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11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.11. f x ,y = 1 + x ln ⁡ x y - 5 ,( 2 ,3 )
17-18. Verifique a aproximação linear em ( 0 ,0 ) .18. y - 1 x + 1 ≈ x + y - 1
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.14. f x ,y = 1 + y 1 + x ,( 1 ,3 )
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.12. f x ,y = x y ,( 1 ,4 )
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.15. f x ,y = 4 arctan ⁡ ( x y ) ,( 1 ,1 )