Enunciado

Determine a área exata da superfície

z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y^2 , 1 <= x <= 4 , 0 <= y <= 1

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos expressar a área da superfície como uma integral:

A (S) = int int_D^() sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A = int_1^4 int_0^1 sqrt(1 + 4 + (3 + 8 y)^2) d y d x = int_1^4 int_0^1 sqrt(14 + 48 y + 64 y^2) d y d x

Passo 2

Show! Agora, se usarmos um sistema de computação algébrica para calcular exatamente a integral, obteremos:

A (S) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln (11 sqrt(5) + 3 sqrt(14) sqrt(5)) - (15)/(16) ln (3 sqrt(5) + sqrt(14) sqrt(5)) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

Resposta

A (S) = (45)/(8) sqrt(14) + (15)/(16) ln ((11 sqrt(5) + 3 sqrt(70))/(3 sqrt(5) + sqrt(70)))

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