Enunciado

Uma superfície S é formada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1   ,   - 1 ≤ z ≤ 1   , e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com

f ± 1 ,   0 ,   0 = 2                     f 0 ,   ± 1 ,   0 = 3                     f 0 ,   0 ,   ± 1 = 4

Estime o valor de ∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S usando a soma de Riemann, tomando como retalhos S i j os círculos do fundo e do topo e a lateral dividida em quatro partes.

Passo 1

Galera, cada quarto da lateral vai ter área 1 4 2 π   .   1   .   2 = π , enquanto o fundo e o topo terão área π   .   1 2 = π . A gente pode pegar 0 ,   0 ,   1 como ponto do topo, 0 ,   0 ,   - 1 como ponto do fundo, e ± 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   ± 1 ,   0 nos quatro quartos da lateral.

Passo 2

Com isso, podemos aproximar a integral pela soma de Riemann:

∫ ∫ S   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ π   .   f 1 ,   0 ,   0 + π   .   f - 1 ,   0 ,   0 + π   .   f 0 ,   1 ,   0 + π   .   f 0 ,   - 1 ,   0 + π   .   f 0 ,   0 ,   1 + π   .   f 0 ,   0 ,   - 1 = π 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 18 π ≈ 56 , 5

Resposta

∫ ∫ S   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ 56,5

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Uma superfície que consiste do cilindro x 2 + y 2 = 1 ,- 1 ≤ z ≤ 1 , junto com seu fundo e tampa. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com f ± 1,0 , 0 = 2 f 0 , ± 1,0 = 3 f 0,0 , ± 1 = 4