Enunciado

Seja S a superfície que é fronteira da caixa delimitada pelos planos x = 0   ,   x = 2   ,   y = 0   ,   y = 4   ,   z = 0 e z = 6 . Aproxime ∫ ∫ S   e - 0,1 x + y + z   d S usando uma soma de Riemann, como na Definição 1 , tomando os retalhos S i j como os retângulos que são as faces da caixa S e os pontos P i j * como os centros destes retângulos.

Passo 1

Galera, as faces da caixa nos planos x = 0 e x = 2 têm área de superfície 24 e centros 0 ,   2 ,   3 ,   2 ,   2 ,   3 .

Já as faces em y = 0 e y = 4 têm área de superfície 12 e centros 1 ,   0 ,   3 ,   1 ,   4 ,   3 .

E por último, as faces em z = 0 e z = 6 têm área 8 e centros 1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   2 ,   6 , beleza?

Passo 2

Agora, pra cada face nós pegamos o ponto P i j * pra ser o centro e temos f x ,   y ,   z = e - 0,1 x + y + z , de forma que, pela Definição 1 , temos:

∫ ∫ S   e - 0,1 x + y + z   d S ≈ 24   .   f 0 ,   2 ,   3 + 24   .   f 2 ,   2 ,   3 + 12   .   f 1 ,   0 ,   3 + 12   .   f 1 ,   4 ,   3 + 8   .   f 1 ,   2 ,   0 + 8   .   f 1 ,   2 ,   6 = 24 e - 0,5 + e - 0,7 + 12 e - 0,4 + e - 0,8 + 8 e - 0,3 + e - 0,9 ≈ 49,09

Resposta

∫ ∫ S   e - 0,1 x + y + z   d S ≈ 49,09

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