Enunciado

Determine a área da parte finita do paraboloide y = x 2 + z 2 limitado pelo plano y = 25 . [Sugestão: Projete a superfície sobre o plano x y ].

Passo 1

Bom, a questão nos dá uma sugestão, e normalmente seguimos ela pois é o caminho fácil para resolver o problema. Contudo, será sugerido aqui uma rota que é mais fácil ainda! Só precisamos fazer algumas mudanças.

A integral que estamos acostumados a trabalhar para calcular a área de uma superfície é:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Em que a região D é a projeção da superfície no plano x y . Podemos calcular a área de uma superfície projetando em outros planos. Se quisermos projetar no plano x z , por exemplo, a nossa integral se torna:

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Observe que houve apenas uma mudança nas derivadas parciais. Ao fazermos isto, a projeção do nosso sólido se torna uma circunferência de raio 5 e centrado na origem, dada por x 2 + z 2 = 25 .

Agora, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de y em função de x e de z para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z da função y = x 2 + z 2 , relativa ao paraboloide. Sendo assim

∂ y ∂ x = 2 x

∂ y ∂ z = 2 z

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 2 x 2 + 2 z 2 d A = ∬ D 1 + 4 x 2 + z 2 d A

Passo 3

Agora, vamos escrever em coordenadas polares a nossa integral. Seja x = r cos ⁡ θ e z = r sen ⁡ θ , a nossa integral se transforma em:

A S = ∬ D 1 + 4 r 2 d A

Os limites serão dados pela circunferência de raio 5. Logo,

0 ≤ r ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto, a integral que devemos resolver é:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 1 + 4 r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π 1 12 ⋅ 1 + 4 r 2 3 / 2 0 5 d θ

A S = ∫ 0 2 π 1 12 ⋅ 101 101 - 1 d θ

A S = π 6 101 101 - 1

Pronto! Igual a diversas outras questões anteriores! A única diferença foi a mudança no plano da projeção.

Resposta

A S = π 6 101 101 - 1

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitada pelos paraboloides z = 3 x 2 + 3 y 2 e z = 4 - x 2 - y 2
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Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitadopelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.
Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelocilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 – x2 e pela reta y = x no plano xy.