Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante

Passo 1

Beleza, galera? Pra descobrir quais vão ser os limites de integração em r da integral que representa o volume, vamos igualar os valores de z das duas superfícies dadas pelo enunciado:

z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 = 7

1 + 2 r 2 = 7

r 2 = 3

r = 3

Então teremos 0 ≤ r ≤ 3 . Como o sólido está no primeiro octante, também teremos 0 ≤ θ ≤ π 2 . Para esses valores, teremos que 7 > 1 + 2 r 2 , então a função a ser integrada será:

f r ,   θ = 7 - 1 + 2 r 2

f r ,   θ = 6 - 2 r 2

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ( 6 - 2 r 2 )   r   d r   d θ

Passo 2

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V =   ∫ 0 π / 2 d θ ∫ 0 3 ( 6 r - 2 r 3 ) d r = θ 0 π / 2 3 r 2 - r 4 2 0 3 = π 2 9 - 9 2 = 9 π 4

Resposta

9 π 4

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