Enunciado

Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo y , abaixo pela reta y = x 4 , acima à esquerda pela curva y = 1 + x e acima à direita pela curva y = 2 x .

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de 0 até 1 y = 1 + x       é a função que está por cima , y = x 4   é a função que está por baixo. Porém a partir de   1 até 4 , y = 2 x   é passa a ser a função que está por cima e     y = 0     é a função que está por baixo. Sendo que em ambas as regiões a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Sendo assim a integral será:

∫ 0 1 1 - x   - x 4 d x + ∫ 1 4 2 x - x 4 d x

Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde uma região inicia, até onde a outra começa e vai até onde a parte hachurada termina.

Passo 3

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Resolvendo integral 1

∫ 0 1 1 - x - x 4 d x

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

∫ 0 1 1 - x - x 4 d x = ∫ 0 1 1   d x - ∫ 0 1 x   d x - ∫ 0 1 x 4 d x

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral) e o fato de x   = x 1 2 ,

∫ 0 1 1 + x - x 4 d x = ∫ 0 1 1   d x + ∫ 0 1 x   d x - 1 4 ∫ 0 1 x d x

= ∫ 0 1 1   d x - ∫ 0 1 x 1 2 d x - 1 4 ∫ 0 1 x d x = x + 2 3 x 3 2 - 1 4 . x 2 2   ​ 0 1 =   1 + 2 3 1 3 2 - 1 4 . 1 2 2 - 0 + 2 3 0 3 2 - 1 4 . 0 2 2

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 0 1 ( 1 + x ) - x 4 d x = x + 2 3 x 3 2 - 1 4 . x 2 2 0 1   = 1 + 2 3 1 3 2 - 1 4 . 1 2 2 - 0 + 2 3 0 3 2 - 1 4 . 0 2 2 = 1 + 2 3 . 1 - 1 4 . 1 2 - 0 + 2 3 . 0 - 1 4 . 0 2 = 1 + 2 3 - 1 8 - 0 + 0 - 1 4 . 0 = 1 + 2 3 - 1 8 - 0 + 0 - 0 = 1 + 2 3 - 1 8

Logo a integral 1

∫ 0 1 ( 1 + x ) - x 4 d x = 1 + 2 3 - 1 8

Resolvendo integral 2

∫ 1 4 2 x - x 4 d x

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)e a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral),

∫ 1 4 2 x - x 4 d x = ∫ 1 4 2 x d x - ∫ 1 4 x 4 d x = ∫ 1 4 2 x d x - 1 4 ∫ 1 4 x   d x

Usando o fato de x   = x 1 2 ,

∫ 1 4 2 x - x 4 d x = ∫ 1 4 2 x d x - 1 4 ∫ 1 4 x   d x = ∫ 1 4 2 . x - 1 2 d x - 1 4 ∫ 1 4 x   d x = 2 . 2 x 1 2 - 1 4 . x 2 2 ​ 1 4

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 1 4 2 x - x 4 d x = 2 . 2 x 1 2 - 1 4 . x 2 2 ​ 1 4 = 2 . 2 ( 4 ) 1 2 - 1 4 . ( 4 ) 2 2 - 2 . 2 1 1 2 - 1 4 . 1 2 2 = 2 . 2 .   2 - 1 4 . 16 2 - 2 . 2 .   1 - 1 4 . 1 2 = 2 . 4 - 16 8 - 2 . 2 - 1 8 = 8 - 2 - 4 - 1 8 = 6 - 4 +   1 8 = 2 + 1 8

Logo a integral 2

∫ 1 4 2 x - x 4 d x = 2 + 1 8

Portanto,

∫ 0 1 1 - x   - x 4 d x + ∫ 1 4 2 x - x 4 d x = 1 + 2 3 - 1 8 +   2 + 1 8 = 3 + 2 3 = 11 3 .

Resposta

Área da região limitada à esquerda pelo eixo y , abaixo pela reta y = x 4 , acima à esquerda pela curva y = 1 + x e acima à direita pela curva y = 2 x   quando 0 ≤ x ≤ 4 é igual à 11 3 .

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