Enunciado

Use o teorema de Pappus para encontrar o centróide da região limitada por um semicírculo e seu diâmetro.

Passo 1

Consideremos que o semicírculo se encontra acima do eixo x com seu centro na origem do plano cartesiano. Se o seu raio tem r unidades, entao:

A = 1 2 π r ² Se a região é revolucionada ao redor do eixo x , uma esfera é obtida e:

V = 4 3 π r ³

Como a aregião é simétrica em relação ao eixo x , x - = 0 .

Passo 2

Pelo teorema de Pappus:

V = 2 π y - A 4 3 π r 3 = 2 π y - * 1 2 π r 2 4 3 π r 2 π 2 r 2 = y - y - = 4 r 3 π

Resposta

O centróide encontra-se no ponto 0 , 4 r 3 π  

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