Determine a área da região sombreada.

Passo 1

Para determinar a área da região sombreada de y = f ( x ) precisamos primeiramente definir o intervalo das funções f . Pela imagem é fácil perceber que para a função y = sec 2 ⁡ t é delimitada por t = - π   4 e t = 0 e que a função y = 1 - t 2 é delimitada por t = 0   e t = 1 .

Logo, temos os seguintes intervalos - π 4 , 0 e [ 0,1 ] .

Passo 2

Agora devemos integrar f e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

∫ - π 4 0 sec 2 ⁡ t d t = t g   t 0 - π 4 = t g   0 - t g - π 4 = 1 - ( - 1 ) = 2

∫ 0 1 1 - t 2 d t = t - t 3 3 1 0 = 1 - 1 3 - 0 = 2 3

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos da integrais calculadas. Logo:

A = 2 + 2 3 = 8 3

Resposta

8 3

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