Calcule as integrais.

Passo 1

Temos que resolver essa integral com potências de tangente e secante, vamos criar uma estratégia pra melhorar nossas contas... Vamos abrir a potência de menor grau para usar a identidade sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x  

∫   t g 3 x   sec 3 ⁡ x   d x =   ∫   sec 2 ⁡ x - 1   sec 2 ⁡ x   ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x   = ∫ sec 4 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x -   ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x

Passo 2

Agora é só usar substituição para resolver as integrais, vamos lá...

  • ∫ sec 4 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x
  • u = s e c x ⟹ d u = s e c x ⋅ t g x  

    Daí,

      ∫ sec 4 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x   =     ∫   u 4 d u   = sec 5 ⁡ x 5

     

  • ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x

u = s e c x ⟹ d u = s e c x ⋅ t g x  

Daí,

∫ sec 2 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x = ∫   u 2   d u = sec 3 ⁡ u 3

Passo 3

Substituindo na primeira igualdade,

∫   t g 3 x   sec 3 ⁡ x   d x = ∫ sec 4 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x - ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ s e c x ⋅ t g x   d x = sec 5 ⁡ x 5 - sec 3 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫   t g 3 x   sec 3 ⁡ x   d x = sec 5 ⁡ x 5 - sec 3 ⁡ x 3 + C  

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