Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

x = y 3 3 ,         0 ≤ y ≤ 1 ;         e i x o   y

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que:

S = ∫ 0 1 2 π   y 3 3 1 + y 2 ) 2       d y = 2 π 3 ∫ 0 1 y 3 1 + y 4   d y

Passo 2

Para calcular essa integral vamos utilizar o método da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

u = 1 + y 4                         d u = 4 y 3   d y ⇒ 1 4 d u = y 3 d y

Passo 3

Aplicando a substituição e integrando, temos:

2 π 3 × 1 4 ∫ 0 1 u 1 2   d u = π 6   u 3 2 3 2 1 0 = π 6 × 2 3 u 3 2 1 0 = π 9 ( u 3 2 ) 1 0

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

π 9 u 3 2 1 0 = π 9 1 + y 4 3 2   1 0

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S =   π 9 1 + y 4 3 2   1 0 = π 9 1 + 1 3 2 - 1 3 2 = π 9 2 3 - 1 = π 9 2 2 - 1

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

π 9 2 2 - 1

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