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Determine a área da superfície.

A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .

Passo 1

Como o exercício 41 não é uma tarefa fácil parametrizar está intercessão, mas ,

z = f ( x , y ) = x 2 + y 2 só depende de x   e   y .

Então podemos aproveitar os resultados 7,8,9 para calcular a área dessa intersecção que é delimitada por { 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x }

Passo 2

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

∂ z ∂ x 2 = ∂ x 2 + y 2 ∂ x 2 = 2 x . 1 2 1 x 2 + y 2 2 = x 2 x 2 + y 2

∂ z ∂ y 2 = ∂ ( x 2 + y 2 ∂ y 2 = y 2 x 2 + y 2

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 2

A = ∬ 2 d A = ∬ 2 d x d y onde { 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x }

A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 d x d y = 2 ∫ 0 1 x - x 2 d x = 2 ( 1 2 x 2 - 1 3 x 3 ) 0 1 = 2 6

Resposta

A = 2 6

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