Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.

r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + v k ⃑ ;   u = 1 , v = π 3

Passo 1

Temos do exercício r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + v k ⃑

Onde r 1 , π 3 = 1 2 i ⃑ + 3 2 j ⃑ + π 3 k ⃑

O primeiro vetor tangente a curva no ponto será quando derivarmos r por exemplo em relação a v.

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑ equação 4

r v = ∂ ( u c o s v ) ∂ v 1 , π 3 i ⃑ + ∂ ( u s e n v ) ∂ v 1 , π 3 j ⃑ + ∂ v ∂ v 1 , π 3 k ⃑

r v = - 1 s e n π 3 i ⃑ + 1 c o s π 3 j ⃑ + k ⃑ = - 3 2 i ⃑ + 1 2 j ⃑ + k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a u.

r u = ∂ ( u c o s v ) ∂ u 1 , π 3 i ⃑ + ∂ ( u s e n v ) ∂ u 1 , π 3 j ⃑ + ∂ v ∂ u 1 , π 3 k ⃑

r u = cos ⁡ π 3 i ⃑ + s e n π 3 j ⃑ = 1 2 i ⃑ + 3 2 j ⃑

Logo r u × r v = ( 1 2 i ⃑ + 3 2 j ⃑ ) × ( - 3 2 i ⃑ + 1 2 j ⃑ + k ⃑ )

r u × r v = 3 2 i ⃑ - 1 2 j ⃑ + k ⃑

Passo 2

Logo o plano que é tangente a o vetor no ponto   r = 1 2 i ⃑ + 3 2 j ⃑ + π 3 k ⃑ e perpendicular á r u × r v será.

3 2 x - 1 2 - 1 2 y - 3 2 + 1 z - π 3 = 0

Que de forma reduzida ficará.

3 2 x - 1 2 y + z = π 3

Resposta

3 2 x - 1 2 y + z = π 3

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