Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2   + y 2   + z 2   = 4 z que está dentro do parabolóide z =   x 2 + y 2 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

A equação da esfera pode ser reescrita como

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0 → x 2 + y 2 + z - 2 2 = 2

Uma esfera de raio 2 e deslocada em centro em 0,0 , 2 .

Escrevendo nossa f ( x , y ) , ficamos com

f x , y = z = 2 + 2 - x 2 - y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x = - x 2 2 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 2 2 - x 2 - y 2

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 = 4 4 -   r 2

O Domínio é definido como

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z → z + z 2 = 4 z → z = 0   o u   z = 3

Como é nosso paraboloide que define nossos limites, temos x 2 + y 2 = 3 → r M a x = 3

E que 0 ≤ θ ≤ 2 π

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 d r   d θ

Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

Fazendo u = 4 - r 2 → d u = 2 r   d r

Logo temos

A S = ∫ 0 2 π - 2 4 - r 2 0 3 d θ =   2 π - 2 + 4 = 4 π

Resposta

A S = 4 π  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento a , se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da sua distâ
Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x .
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é a região triangular delimitada pelas retas x = 0,y = x e 2 x + y = 6 ; ρ x ,y = x 2
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = e x,y = 0,x = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = y