Enunciado

Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento a , se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da sua distância ao vértice oposto à hipotenusa.

Passo 1

Galera, conforme o exercício nos descreve, a lâmina deve ser assim:

E a densidade deve ser ρ x ,   y = c ( x 2 + y 2 ) , pois a origem é o vértice oposto à hipotenusa.

Podemos calcular a massa então:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 a ∫ 0 a - x c ( x 2 + y 2 )   d y   d x = ∫ 0 a c x 2 y + y 3 3 0 a - x d x = ∫ 0 a c a x 2 - x 3 + a - x 3 3 d x = c a x 3 3 - x 4 4 - a - x 4 12 0 a = c a 4 6  

Passo 2

Por causa da simetria, teremos:

x - = y - = M x m

onde M x é o momento em relação ao eixo x , calculado da seguinte forma:

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 a ∫ 0 a - x c y ( x 2 + y 2 )   d y   d x = ∫ 0 a c x 2 y 2 2 + y 4 4 0 a - x d x = ∫ 0 a c a - x 2 x 2 2 + a - x 4 4 d x = c a 2 x 3 6 - a x 4 4 + x 5 10 - a - x 5 20 0 a = c a 5 15

Então,

x - = y - = M x m = c a 5 15 c a 4 6 = 2 a 5

Resposta

x ,   - y - = 2 a 5 , 2 a 5

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