Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é uma região triangular com vértices 0 ,   0 ,   2 ,   1 ,   0 ,   3 ; ρ x ,   y = x + y

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 2 ∫ x / 2 3 - x ( x + y )   d y   d x = ∫ 0 2 x y + y 2 2 x 2 3 - x   d x = ∫ 0 2 x 3 - x + 3 - x 2 2 - x . x 2 - x 2 2 2   d x = ∫ 0 2 - 9 8 x 2 + 9 2   d x = - 3 x 3 8 + 9 x 2 0 2 = - 3 + 9 = 6

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ x / 2 3 - x ( x 2 + x y )   d y   d x = ∫ 0 2 x 2 y + x y 2 2 x 2 3 - x   d x = ∫ 0 2 x 2 3 - x + x 3 - x 2 2 - x 2 . x 2 - x x 2 2 2   d x = ∫ 0 2 - 9 8 x 3 + 9 x 2   d x = - 9 x 4 32 + 9 x 2 4 0 2 = - 9 2 + 9 = 9 2

x - = M y m = 9 2 6 = 3 4

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ x / 2 3 - x ( x y + y 2 )   d y   d x = ∫ 0 2 x y 2 2 + y 3 3 x 2 3 - x   d x = ∫ 0 2 x 3 - x 2 2 + 3 - x 3 3 - x x 2 2 2 - x 2 3 3   d x = ∫ 0 2 9 - 9 x 2   d x = 9 x - 9 x 2 4 0 2 = 18 - 9 = 9

y - = M x m = 9 6 = 3 2

Então,

x ,   - y - = 3 4 , 3 2

Resposta

m = 6

x ,   - y - = 3 4 , 3 2

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