Enunciado

Um termômetro é levado de um cômodo no qual a temperatura é de 20   ° C para o lado de fora onde a temperatura é 5   ° C . Depois de um minuto a leitura do termômetro é de 12   ° C .

a) Qual será a leitura do termômetro depois de mais um minuto?

b) Quando a leitura do termômetro será de 6   ° C ?

Passo 1

Este é um problema sobre a lei de resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial

d T d t = k ( T - T s )

Chamando y = T - T s , a equação fica

d y d t = k y ⇒ y = A e k t

Note que A representa a diferença de temperatura inicial:

t = 0 ⇒ y = T 0 - T s = A

Portanto,

T ( t ) = T s + T 0 - T s   e k t

Essa é a solução geral para o problema do resfriamento exponencial!

Netse caso, temos T 0 = 20   ° C e T s = 5   ° C :

T t = 5 + 15 e k t

Passo 2

No item (a) sabemos que para t = 1   m i n T 1 = 12   ° C :

12 = 5 + 15 e k ⇒ e k = 7 1 5

Logo,

k = ln ⁡ 7 15 ⇒ k = - 0 , 762

Portanto,

T t = 5 + 1 5 e - 0 , 762 t

Para t = 2   m i n :

T 2 = 5 + 1 5 e - 0 , 762   ⋅   2

Logo,

T 2 = 8,27   ° C

Passo 3

No item (b) queremos achar t tal que T t = 6   ° C :

6 = 5 + 15 e - 0,762 t ⇒ e - 0 , 762   t = 1 15

Portanto,

0 , 762   t = ln ⁡ 15

Logo,

t = 3,5   m i n

Resposta

T 2 = 8,27   ° C

t = 3,5   m i n

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