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Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é delimitada por y = e x   ,   y = 0   ,   x = 0   e x = 1 ; ρ x ,   y = y

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 e x y   d y   d x = ∫ 0 1 y 2 2 0 e x   d x = ∫ 0 1 e 2 x 2   d x = e 2 x 4 0 1 = e 2 4 - 1 4 = e 2 - 1 4

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 e x x y   d y   d x = ∫ 0 1 x y 2 2 0 e x   d x = ∫ 0 1 x e 2 x 2   d x = 1 2 x e 2 x 2 - e 2 x 4 0 1 = 1 4 e 2 - e 2 2 - 0 + 1 2 = e 2 + 1 8

x - = M y m = e 2 + 1 8 e 2 - 1 4 = e 2 + 1 2 ( e 2 - 1 )

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 e x y 2   d y   d x = ∫ 0 1 y 3 3 0 e x   d x = ∫ 0 1 e 3 x 3   d x = e 3 x 9 0 1 = e 3 9 - 1 9 = e 3 - 1 9

y - = M x m = e 3 - 1 9 e 2 - 1 4 = 4 ( e 3 - 1 ) 9 e 2 - 1

Então,

x ,   - y - = e 2 + 1 2 ( e 2 - 1 ) , 4 ( e 3 - 1 ) 9 e 2 - 1

Resposta

m = e 2 - 1 4

x ,   - y - = e 2 + 1 2 ( e 2 - 1 ) , 4 ( e 3 - 1 ) 9 e 2 - 1

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