Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = 3

∂ z ∂ y = 4

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 3 2 + 4 2 d A = ∬ D 26 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região retangular, pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem de integração. Logo,

A S = ∫ 0 5 ∫ 1 4 26 d y d x

A S = 15 26

Resposta

A S = 15 26

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Calcule o volume do conjunto dado. { x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 ,x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 }
Calcule o volume do conjunto dado. { x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ x y e x 2 - y 2 }
Calcule o volume do conjunto dado. { x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ x + 2 y }
Calcule o volume do conjunto dado. { x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2 ,0 ≤ z ≤ x y }
Calcule o volume do conjunto dado.