Calcule o volume do conjunto dado.

  1. {x, y, z | x, y, z pertencem a R^3 | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= x, y \* e^(x^2 - y^2)}

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 x y e x 2 - y 2 d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y e x 2 - y 2   d x d y

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Integramos e aplicamos os intervalos...

∫ 0 1 x e x 2 d x ∫ 0 1 y e - y 2 d y

= e x 2 2 0 1 - 1 2 e y 2 0 1

= e 2 - e 0 2 - 1 2 e 1 + 1 2 e 0

= e 2 - 1 2 - 1 2 e + 1 2

= e - 1 2 - e - 1 + 1 2

= 1 4 e - 1 1 - e - 1

Prontinho! Esse é o volume😉

Resposta

1 4 e - 1 1 - e - 1

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