Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = - 5

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 2 2 + - 5 2 d A = ∬ D 30 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região cilíndrica, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 3

Logo, temos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 30 r d r d θ

A S = 9 π 30

Resposta

A S = 9 π 30

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x = y 2 + 1 e x = - y 2 + 9 .
Determine a área da região limitada pelas curvas: ax = y 3 , x + y = 2 e y = 0 .
Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies y = 4 - x 2 , y = 3 x , z = x + 4 e z = 0 .
Determine a área da região limitada pelas curvas: a2 y = 16 - x 2 e x + 2 y + 4 = 0 .
Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x 2 , z = 0 e y = - 4 com z ≥ 0 .