Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = y

∂ z ∂ y = x

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + y 2 + x 2 d A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região circular de centro na origem e raio 1, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 1

Agora, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 + r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π 2 3 ⋅ 1 + r 2 3 2 2 0 1 d θ

A S = ∫ 0 2 π 1 3 ⋅ 2 3 / 2 - 1 3 / 2 d θ

A S = 2 π 2 2 - 1 3

Resposta

A S = 2 π 2 2 - 1 3

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