Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = - 2 x

∂ z ∂ y = 2 y

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 2 x 2 + 2 y 2 d A = ∬ D 1 + 4 x 2 + y 2 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região anelar, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

1 ≤ r ≤ 2

Observe que o raio varia de uma circunferência interna até a outra mais externa!

Agora, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π 2 3 ⋅ 1 + 4 r 2 3 2 8 1 2 d θ

A S = ∫ 0 2 π 17 3 / 2 - 5 3 / 2 12 d θ

A S = π 17 3 / 2 - 5 3 / 2 6

Resposta

A S = π 17 3 / 2 - 5 3 / 2 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do conjunto dado.
Calcule
3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.c. B =x ,y ∈R 2x 2+4 y 2≤1 }ex+y=3 a reta
3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.a. B é o círculo x 2+y 2≤1ey=x+2 a reta.
3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.b. B é o conjunto de todos (x, y) tais que x 2≤y≤