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Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas

y = x 2

E

y = - x 2 + 4 x

Passo 1

Para podermos determinar a área de uma região compreendida entre duas curvas, precisamos obter um esboço do gráfico. Com ele, poderemos determinar qual o nosso intervalo de integração, qual curva está acima da outra e se há uma mudança neste comportamento. Sendo assim, vamos utilizar recursos gráficos para ajudar nesta visualização. Descoberto o intervalo a , b e que f x ≥ g ( x ) ao longo deste intervalo, então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por obter o esboço das curvas.

A nossa região está limitada acima pela função f x = - x 2 + 4 x , abaixo por g x = x 2 e o intervalo de integração é x A , x B em que x A e x B são as coordenadas x dos pontos A e B, pontos de interseção de f ( x ) e g ( x ) . Para calcular estas coordenadas basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

x 2 = - x 2 + 4 x

2 x 2 - 4 x = 0

2 x x - 2 = 0

Portanto, as únicas soluções reais são temos x 1 = 0 e x 2 = 2 . Logo, temos que x A = 0 e x B = 2 . Portanto, a nossa integral é:

A = ∫ 0 2 - x 2 + 4 x - ( x 2 )   d x

A = ∫ 0 2 - 2 x 2 + 4 x   d x

Passo 3

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ 0 2 - 2 x 2 + 4 x   d x

A = - 2 x 3 3 + 2 x 2 0 2

A = - 16 3 + 8 - 0 + 0

A = 8 3

Resposta

A = 8 3

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