Determine a linearização de

g x = 3 + ∫ 1 x 2 sec ⁡ t - 1   d t

Em x = -1 .

Passo 1

Muita calma nessa hora. Temos muitas informações para serem trabalhadas! Vamos relembrar primeiro como escrevemos a linearização de uma função. Sendo assim, a linearização é dada por:

L x = f a + f ' a ⋅ ( x - a )

Se queremos linearizar em torno do ponto x = - 1 , temos que a = - 1 , e assim precisamos calcular f ( - 1 ) e f ' ( - 1 ) . Mas aí entramos em outro problema! Como obtemos f ' ( x ) ? Como derivamos uma integral? É nesse momento que relembramos do teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F x = ∫ a x f t   d t , então:

F ' x = d d x ∫ a h ( x ) f t   d t = f h x ⋅ h ' ( x )

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil. Vamos calcular g ( - 1 ) . Temos então:

g - 1 = 3 + ∫ 1 1 s e c ⁡ ( t - 1 )   d t

Como os limites da integral são iguais entre si, o valor desta integral é igual a 0. Portanto,

g - 1 = 3 - 0

g - 1 = 3

Passo 3

Vamos agora obter a derivada da função g ( x ) .

g ' x = d d x 3 + ∫ 1 x 2 sec ⁡ t - 1   d t

g ' x = 3 + d d x ∫ 1 x 2 sec ⁡ t - 1   d t

g ' x = d d x ∫ 1 x 2 sec ⁡ t - 1   d t

É neste exato momento que aplicamos o teorema fundamental do cálculo parte 1. Se h x = x 2 , temos:

g ' x = s e c ⁡ ( x 2 - 1 ) ⋅ x 2 '

g ' x = 2 x ⋅ s e c ⁡ ( x 2 - 1 )

Passo 4

Agora, podemos obter a função linearização! Temos então:

L x = g a + g ' a ⋅ ( x - a )

L x = g - 1 + g ' - 1 ⋅ ( x + 1 )

L x = 3 + 2 ⋅ - 1 ⋅ s e c ⁡ ( 1 - 1 ) ⋅ ( x + 1 )

L x = 3 - 2 ⋅ ( x + 1 )

Portanto,

L x = - 2 x + 1

Resposta

L x = - 2 x + 1

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