Enunciado

Determine a linearização de

g (x) = 3 + int_1^(x^2) sec (t - 1) d t

Em x = - 1 .

Passo 1

Muita calma nessa hora. Temos muitas informações para serem trabalhadas! Vamos relembrar primeiro como escrevemos a linearização de uma função. Sendo assim, a linearização é dada por:

L (x) = f (a) + f^' (a) * ( x - a )

Se queremos linearizar em torno do ponto x = - 1 , temos que a = - 1 , e assim precisamos calcular f ( - 1 ) e f ' ( - 1 ) . Mas aí entramos em outro problema! Como obtemos f ' ( x ) ? Como derivamos uma integral? É nesse momento que relembramos do teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F (x) = int_a^x f (t) d t , então:

F^' (x) = (d)/(d x) int_a^(h ( x )) f (t) d t = f (h (x)) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil. Vamos calcular g ( - 1 ) . Temos então:

g (- 1) = 3 + int_1^1 s e c ( t - 1 ) d t

Como os limites da integral são iguais entre si, o valor desta integral é igual a 0. Portanto,

g (- 1) = 3 - 0

g (- 1) = 3

Passo 3

Vamos agora obter a derivada da função g ( x ) .

g^' (x) = (d)/(d x) (3 + int_1^(x^2) sec (t - 1) d t)

g^' (x) = 3 + (d)/(d x) int_1^(x^2) sec (t - 1) d t

g^' (x) = (d)/(d x) int_1^(x^2) sec (t - 1) d t

É neste exato momento que aplicamos o teorema fundamental do cálculo parte 1. Se h (x) = x^2 , temos:

g^' (x) = s e c ( x^2 - 1 ) * [x^2] '

g^' (x) = 2 x * s e c ( x^2 - 1 )

Passo 4

Agora, podemos obter a função linearização! Temos então:

L (x) = g (a) + g^' (a) * ( x - a )

L (x) = g (- 1) + g^' (- 1) * ( x + 1 )

L (x) = 3 + 2 * (- 1) * s e c ( 1 - 1 ) * ( x + 1 )

L (x) = 3 - 2 * ( x + 1 )

Portanto,

L (x) = - 2 x + 1

Resposta

L (x) = - 2 x + 1

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