Enunciado

33. Ache o centroide da região limitada pela curva y = ( x - 1 ) / ( x 2 - 5 x + 6 ) , pelo eixo x e pelas retas x = 4   e   x = 6 .

Passo 1

Nesta questão, devemos saber que para calcular o centróide de uma região devemos encontrar sua área primeiro uma vez que o centróide é dado por:

x - , y - = M y A , M x A

Passo 2

Sendo assim, a área da região em questão pode ser calculada como:

A = ∫ 4 6 x - 1 x 2 - 5 x + 6 d x  

Utilizando o conceito de decomposição em frações parciais podemos reescrever a integral da seguinte forma:

A = ∫ 4 6 x x - 3 x - 2 - 1 x - 3 x - 2 d x

= ∫ 4 6 3 x - 3 - 2 x - 2 - 1 x - 3 + 1 x - 2 d x

= ∫ 4 6 2 x - 3 - 1 x - 2 d x = 2 l n x - 3 - l n x - 2 4 6 = 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Passo 3

O calculo de M x é dado por:

M x = 1 2 ∫ 4 6 x - 1 x 2 - 5 x + 6 2 d x = 1 2 ∫ 4 6 2 x - 3 - 1 x - 2 2 d x

= 1 2 ∫ 4 6 4 x - 3 2 - 4 x - 3 x - 2 + 1 x - 2 2 d x

= 1 2 ∫ 4 6 4 x - 3 2 - 4 x - 3 + 4 x - 2 + 1 x - 2 2 d x

= - 2 x - 3 - 2 l n x - 3 + 2 l n x - 2 - 1 2 x - 2 4 6

= 35 24 + 2 l n 2 - 2 l n 3

Passo 4

O calculo de M y é dado por:

M y = ∫ 4 6 x ( x - 1 ) x 2 - 5 x + 6 d x = ∫ 4 6 1 + 4 x - 6 x - 3 x - 2 d x

= ∫ 4 6 1 + 4 3 x - 3 - 2 x - 2 - 6 1 x - 3 - 1 x - 2 d x

= ∫ 4 6 1 + 6 x - 3 - 2 x - 2 d x = x + 6 l n x - 3 - 2 l n x - 2 4 6

= 2 - 2 l n 2 + 6 l n 3

Sendo assim, o centróide da região em questão pode ser dado por:

x - = 2 - 2 l n 2 + 6 l n 3 2 l n 3 - l n 2

y - = 35 24 + 2 l n 2 - 2 l n 3 2 l n 3 - l n 2

Resposta

x - = 2 - 2 l n 2 + 6 l n 3 2 l n 3 - l n 2

y - = 35 24 + 2 l n 2 - 2 l n 3 2 l n 3 - l n 2

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